权那他
正在创作一切未来

  $\lim_{n\rightarrow \infty} (n!)^{1/n}$ 这个极限问题最近很多人都很困惑,在此解决一下。首先有很多人的看法如下:因为 $\lim_{n\rightarrow \infty} n^{1/n}=1$,于是有

$$\lim_{n\rightarrow \infty} (n!)^{1/n}=1^{1/n}\cdots n^{1/n}=1$$

这是不对的,因为它忽视了一点——有限与无限的区别,有限个极限相乘等于相乘的极限,然而对无限的情况并不适合。我们先从两种方法出发,去解决这一问题。

一. 斯特林公式

  如果知道斯特林公式,这将会很简单。由斯特林公式,当$n$很大时,我们有:

$$ n!\approx [\sqrt{2 \pi n}]\times\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

于是

$$\lim_{n\rightarrow \infty}[(n!)^{1/n}]=+\infty$$

二. 另一种方法

  这个方法个人认为还不算严格,但比较好想。我们应该比较熟悉 $\lim_{n\rightarrow \infty}(a^n)/n!=0$. 由此,我们可以得到$a^na$ (其中$a>0$为任意实数)。 于是如果 $(n!)^{1/n}$ 不发散,就会收敛于一值,不妨设为 $L$。 由上面结论,有 $$\lim_{n\rightarrow \infty}(L^n)/n!=0$$

也就是 $(n!)^{1/n}>L$ 当n很大时,这与$L$为极限矛盾

转自:whzecomjm

标签: Opus Mens

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  1. 有限个极限相乘等于相乘的极限,然而对无限的情况并不适合。从有限到无限会发生天翻地覆的改变。 :razz:

      1. XD 我知道了,谢谢你关注。但是你应该要养成版权意识,至少注明一下。